Question

10．已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，其左、右焦点分别是F₁，F₂．若点M坐标为（2，1），过双曲线左焦点且斜率为$\frac{5}{12}$的直线与双曲线右支交于点P，则${S_{△PM{F_1}}}-{S_{△PM{F_2}}}$=（　　）

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 过双曲线左焦点F₁（-3，0）且斜率为$\frac{5}{12}$的直线方程为：5x-12y+15=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{5x-12y+15=0}\\{5{x}^{2}-4{y}^{2}=20}\end{array}\right.$⇒P（3，$\frac{5}{2}$）所以直线PF₂的方程为：x=3，
求出点M到直线PF₁，PF₂的距离分别为d₁、d₂，即可

解答 解：过双曲线左焦点F₁（-3，0）且斜率为$\frac{5}{12}$的直线方程为：5x-12y+15=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{5x-12y+15=0}\\{5{x}^{2}-4{y}^{2}=20}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$∴P（3，$\frac{5}{2}$）
所以直线PF₂的方程为：x=3，
设点M到直线PF₁，PF₂的距离分别为d₁、d₂，
d₁=$\frac{5×2-12×1+15}{\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}}=1$，d₂=1．
则${S_{△PM{F_1}}}-{S_{△PM{F_2}}}$=$\frac{1}{2}（P{F}_{1}-P{F}_{2}）×1=a=2$．
故选：C

点评 本题考查了双曲线与直线的位置关系，面积计算，属于中档题．