Question

15．已知实数c＞0，设命题p：函数y=（2c-1）^x在R上单调递减；命题q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，如果p∨q为真，p∧q为假，求c的取值范围．

Answer 1

分析 如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案．

解答 解：由函数y=（2c-1）^x在R上单调递减可得，0＜2c-1＜1，解得$\frac{1}{2}＜c＜1$．
设函数$f（x）=x+|x-2c|=\left\{{\begin{array}{l}{2x-2c，x≥2c}\\{2c，\begin{array}{l}{\;}&{x＜c}\end{array}}\end{array}}\right.$，可知f（x）的最小值为2c，
要使不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，只需$2c＞1，c＞\frac{1}{2}$，
因为p或q为真，p且q为假，所以p，q只能一真一假，
当p真q假时，有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜c＜1}\\{c≤\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，无解；
当p假q真时，有$\left\{{\begin{array}{l}{0≤c≤\frac{1}{2}，c≥1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，可得c≥1，
综上，c的取值范围为c≥1．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的单调性，不等式恒成立问题，复合命题，难度中档．