Question

7．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\sqrt{17}$，则圆（x-6）²+y²=1上的动点M到双曲线C的渐近线的最短距离为（　　）

• A． 23
• B． 24
• C． $\frac{{24\sqrt{17}}}{17}-1$
• D． $\frac{{24\sqrt{17}}}{17}$

Answer 1

分析 由双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\sqrt{17}$，转化求解双曲线的一条渐近线到圆（x-6）²+y²=1上的点的最短距离．

解答 解：双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\sqrt{17}$，
可得$\frac{c}{a}$=$\sqrt{17}$，可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=17$，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=16$，b=4a，则b²=16（c²-b²），解得$\frac{b}{c}=\frac{4}{\sqrt{17}}$
双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0，
∵双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线到圆（x-6）²+y²=1上的点的最短距离为：
$\frac{|6b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}-1$=$\frac{6b}{c}$-1=$\frac{{24\sqrt{17}}}{17}-1$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．