Question

7．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；
（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．

解答 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ²=4ρ（cosθ+sinθ）-6，
所以x²+y²=4x+4y-6，
所以x²+y²-4x-4y+6=0，
即（x-2）²+（y-2）²=2为圆C的普通方程．…（4分）
所以所求的圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，$x+y=4+\sqrt{2}（sinθ+cosθ）=4+2sin（θ+\frac{π}{4}）$…（7分）
当 $θ=\frac{π}{4}$时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…（9分）x+y取到最大值为6．…（10分）

点评 本题考查极坐标与直角坐标，参数方程的应用，考查计算能力．