Question

设函数f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-sinx（

3

sinx-cosx）+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的最大值，单调区间．
（3）若f（x）的图象向x轴正方向平移m个单位后图象关于y轴对称，求m的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据两角差的余弦公式、倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围求出2x+

π

3

的范围，再由正弦函数的求出此函数的最值、单调区间；
（3）由余弦函数是偶函数、诱导公式得：2m+

π

3

=

π

2

+kπ(k∈Z)，求出m的表达式，由范围求出m的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=2cosxcos（x-

π

6

）-sinx（

3

sinx-cosx）+2
=2cosx（

3

2

cosx+

1

2

sinx）-

3

sin²x+sinxcosx+2
=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx+2
=

3

cos2x+sin2x+2=2sin(2x+

π

3

)+2，
所以f（x）的最小正周期是π；
（2）由x∈[0，

π

2

]得，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
当2x+

π

3

=

π

2

时，函数f（x）的取得最大值是4，
由2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]得，x∈[0，

π

12

]，
由2x+

π

3

∈(

π

2

，

4π

3

]得，x∈（

π

12

，

π

2

]，
所以函数f（x）的增区间是[0，

π

12

]，减区间（

π

12

，

π

2

]；
（3）因为f（x）的图象向x轴正方向平移m个单位后图象关于y轴对称，
则令2m+

π

3

=

π

2

+kπ(k∈Z)得，m=

π

12

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以m的最小值是

π

12

．

点评：本题考查两角差的余弦公式、倍角公式、两角和的正弦公式，诱导公式，以及正弦函数的性质，属于中档题．