Question

四面体ABCD中，∠ACB=30°，∠DCB=45°，∠ACD=60°，设二面角A-BC-D的平面角为α，则cosα=

 

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：由题意，作AO⊥平面BCD，垂足为O，作OE⊥BC，交BC于E，连结AE，则∠AEO=α，由此利用余弦定理能求出cosα=

2

-

3

．

解答： 解：由题意，作AO⊥平面BCD，垂足为O，作OE⊥BC，交BC于E，连结AE，
则∠AEO=α，
∵DC的长度不影响∠α的大小，
∴使得E、O、D共线，
设AE=a，
=∠ACE=30°，∴AC=2a，EC=

3

a，
又∵∠DCE=45°，DE⊥BC，
∴DE=

3

a，DC=

6

a，
又∵∠ACD=60°，
∴cos∠ACD=

AC2+CD2-AD2

2AC•CD

=

4a2+6a2-AD2

2×2a× 6 a

=

1

2

，
解得AD²=（10-2

6

）a²，
∴cos∠AED=

AE2+ED2-AD2

2AE•ED

=

a2+3a2-(10-2 6 )a2

2 3 a2

=

2

-

3

．
∴cosα=

2

-

3

．
故答案为：

2

-

3

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．