Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为α，PC与α的交点为Q．
（Ⅰ）试确定Q的位置并证明；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD被平面α分成上下两部分的体积比．
（Ⅲ）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的二面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：

分析：（Ⅰ）利用线面平行和线线平行之间的转化求出结论．
（Ⅱ）利用线面的垂直，进一步算出锥体的体积运算求出比值．
（Ⅲ）通过做出二面角的平面角求出相关的量，进一步解直角三角形求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）Q为PC的中点．
理由证明如下：因为AD∥BC，AB?平面PBC，故AD∥平面PBC．
又由于平面α∩平面PBC=EQ，故AD∥EQ．
所以：BC∥EQ．
又E为PB的中点，故Q为PC的中点．
（Ⅱ）如图连接EQ，DQ，
因为：PA⊥平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°
故：PA=AB
又因为：E为PB的中点，
所以PE⊥AE．
因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB．
又PA⊥平面ABCD
得到：AD⊥PA，又PA∩AB=A
故：PE⊥平面α
设：PA=h，AD=2a，四棱锥P-ABCD被平面α所分成的上下两部分分别为V₁和V₂
则：EQ=a
又因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥AE．
V上=

1

3

•PE•SAEQD=

1

3

2

2

h•

1

2

(a+2a)

2

2

h=

a

4

h2
V下=

1

3

PA•SABCD-V上=

5

12

ah2

V上

V下

=

3

5

（Ⅲ）过E作EF⊥DQ，连接PF，
因为PE⊥平面α，所以PE⊥DF
又由于EF∩PE=E，所以DF⊥平面PEF，
则：DF⊥PF
所以：∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角．
因为：PA=2，即h=2，截面AEQD的面积为3．
所以：SAEQD=

1

2

(a+2a)

2

2

h=3
解得：a=

2

又因为：AD∥EQ，且EQ=

1

2

AD，
故：S△EQD=

1

3

SAEQD=1
QD=

(AD-QE)2+AE2

=2
又S△EQD=

1

2

EF•DQ=1
解得：EF=1．
PE=

1

2

PB=

2

在直角三角形PEF中，tan∠PFE=

PE

EF

=

2

即：平面α与平面PCD所成的二面角的正切值为

2

．

点评：本题考查的知识要点：线面的垂直和平行问题，锥体的体积，二面角的平面角的应用．属于中等题型．