Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知O为AC与BD的交点，M为DD₁的中点．
（1）求证：B₁O⊥AM；
（2）设正方体棱长为1，若 T是D₁D或其延长线上一点，求使B₁T⊥平面MAC时DT的长．

Answer 1

解：（1）证明：∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B₁O⊥AC．设棱长为2
连接MO、MB₁，则MO=，B₁O=，MB₁=3．
∵MO²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°．
∴B₁O⊥MO．
∵MO∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC．
∴B₁O⊥AM；
（2）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系
A（1，0，0），C（0，1，0），M（0，0，），B₁（1，1，1）
设点T（0，0，t），则
而，
∵使B₁T⊥平面MAC
∴解得t=-1
∴DT=1时使B₁T⊥平面MAC
分析：（1）先证B₁O⊥MAC，证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．有时候题目中没有现成的直线与直线垂直，需要我们先通过直线与平面垂直去转化一下，如欲证B₁O⊥AC，可以先证明AC⊥平面BB₁O，从而B₁O⊥AM；
（2）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，根据使B₁T⊥平面MAC，建立等式关系，解之即可．
点评：证明直线与直线垂直常用的方法有勾股定理、通过直线与平面垂直转化，以及利用空间向量解立体几何等有关知识，属于中档题．