Question

5．（1）已知双曲线与椭圆$\frac{y^2}{49}+\frac{x^2}{24}$=1共焦点，且以y=±$\frac{4}{3}$x为渐近线，求双曲线方程．
（2）已知椭圆经过点A（0，$\frac{5}{3}$）和B（1，1），求椭圆标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求得双曲线的焦点坐标，由双曲线的渐近线方程，设出双曲线的方程$\frac{{y}^{2}}{16λ}-\frac{{x}^{2}}{9λ}=1$，由双曲线的性质即可求得λ=1，即可求得双曲线方程．
（2）由题意设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，将A和B代入椭圆方程，即可求得m和n的值，求得椭圆标准方程．

解答 解：（1）椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为（0，-5），（0，5），
由c=5，
由y=±$\frac{4}{3}$x为渐近线的双曲线方程：$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=λ$（λ≠0），
则双曲线的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{16λ}-\frac{{x}^{2}}{9λ}=1$，
∴16λ+9λ=25，
故答案为：λ=1，
双曲线方程$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$；
（2）由题意可知：设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}=1$，
椭圆经过点A（0，$\frac{5}{3}$），B（1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{9n}=1}\\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{25}{9}}\\{m=\frac{25}{16}}\end{array}\right.$，
椭圆标准方程$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{16}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{25}{9}}=1$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的标准方程及简单性质，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．