Question

15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． （4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$
• B． |$\overrightarrow{b}$|=1
• C． $\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1
• D． $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 由题意，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，分别与向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$共线，根据等边三角形的性质进行判断．

解答 解：因为向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
并且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，
所以4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
所以（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$=2×$2×2×（-\frac{1}{2}）+{2}^{2}$=0，
所以（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$；|$\overrightarrow{b}$|=BC=2；$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$2×2×\frac{1}{2}$=2≠0
故BCD错误；
故选A．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算，注意三角形的内角与向量夹角的关系．