Question

5．已知函数f（x）=x-ae^x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，求证：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）分离参数a，问题转化为证明证明$（{x_1}-{x_2}）\frac{{{e^{x_1}}+{e^{x_2}}}}{{{e^{x_1}}-{e^{x_2}}}}＞2$，不妨设x₁＞x₂，记t=x₁-x₂，则t＞0，e^t＞1，因此只要证明：$t•\frac{{{e^t}+1}}{{{e^t}-1}}＞2$，即（t-2）e^t+t+2＞0，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f'（x）=1-a•e^x，…（1分）
当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数；…（3分）
当a＞0时，由f'（x）＞0得x＜-lna，由f'（x）＜0得x＞-lna，
所以函数f（x）是（-∞，-lna）上的单调递增函数，
函数f（x）是（-lna，+∞）上的单调递减函数…（5分）
（2）函数f（x）有两个零点x₁，x₂，所以${x_1}=a{e^{x_1}}$，${x_2}=a{e^{x_2}}$，
因此${x_1}-{x_2}=a（{e^{x_1}}-{e^{x_2}}）$，即$a=\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{e^{x_1}}-{e^{x_2}}}}$，…（7分）
要证明x₁+x₂＞2，只要证明$a（{e^{x_1}}+{e^{x_2}}）＞2$，
即证：$（{x_1}-{x_2}）\frac{{{e^{x_1}}+{e^{x_2}}}}{{{e^{x_1}}-{e^{x_2}}}}＞2$…（9分）
不妨设x₁＞x₂，记t=x₁-x₂，
则t＞0，e^t＞1，因此只要证明：$t•\frac{{{e^t}+1}}{{{e^t}-1}}＞2$，
即（t-2）e^t+t+2＞0，…（10分）
记h（t）=（t-2）e^t+t+2（t＞0），
则h'（t）=（t-1）e^t+1，
记m（t）=（t-1）e^t，则m'（t）=te^t，
当t＞0时，m'（t）＞0，所以m（t）＞m（0）=-1，
即t＞0时（t-1）e^t＞-1，h'（t）＞0，
所以h（t）＞h（0）=0，即（t-2）e^t+t+2＞0成立，
所以x₁+x₂＞2…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．