Question

在直角坐标系xOy中,椭圆C₁: ="1" (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂, F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=.
（1）求C₁的方程；
（2）直线l∥OM，与C₁交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程.

Answer 1

(1).(2)直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.

试题分析：(1)由C₂:y²=4x,知F₂(1,0),设M(x₁,y₁),M在C₂上,因为|MF₂|=,所以x₁+1=,得x₁=,y₁=.所以M.M在C₁上,且椭圆C₁的半焦距c=1,于是消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0.
解得a=2(a=不合题意,舍去). b²=4-1=3.故椭圆C₁的方程为.
(2)因为l∥OM,所以l与OM的斜率相同.故l的斜率k==.设l的方程为y=(x-m).
由消去y并整理得9x²-16mx+8m²-4=0.设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁+x₂=,x₁x₂=.
因为⊥,所以x₁x₂+y₁y₂=0.所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²
=7·-6m·+6m²=(14m²-28)=0.所以m=±.此时Δ=(16m)²-4×9(8m²-4)＞0.
故所求直线l的方程为y=x-2,或y=x+2.
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质，通过布列方程，达到解题目的。本题（2）在利用韦达定理的基础上，借助于向量垂直，向量的数量积为0，得到了m的方程。