Question

17．设f（x）=-$\frac{1}{x}$+ln$\frac{1+x}{1-x}$．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）直接由对数式的真数大于0，求解分式不等式得函数的定义域；
（2）直接根据f（-x）=-f（x）得到函数为奇函数，
（3）由函数单调性的定义证明函数在（0，1）上的单调性，然后结合奇函数在对称区间上的单调性得函数在（-1，0）上的单调性

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{\frac{1+x}{1-x}＞0}\end{array}\right.$，解的-1＜x＜0，或0＜x＜1，
故函数的定义域为（-1，0）∪（0，1），
（2）f（-x）=$\frac{1}{x}$+ln$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{1}{x}$-ln$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
（3）设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
设g（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$，
∴g（x₁）-g（x₂）=ln$\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$-ln$\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=ln$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$，
∵0＜$\frac{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{（1+{x}_{2}）（1-{x}_{1}）}$＜1，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g（x）在（0，1）上增函数，
∵y=-$\frac{1}{x}$在（0，1）上增函数，
∴f（x）在（0，1）上增函数，
由（2）可知，f（x）为奇函数，
∴f（x）在（-1，0）为增函数．

点评 本题考查了对数函数定义域的求法，训练了函数单调性的判断方法，考查了奇函数在对称区间上的单调性，是中档题．