Question

12．设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列命题正确的有几个．（　　）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a^x，b^x，c^x不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①利用指数函数的性质以a．b．c构成三角形的条件进行证明．②由于涉及不可能问题，因此可以举反例进行判断．③利用函数零点的存在性定理进行判断．

解答 解：①∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，
∴0$＜\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，
当x∈（-∞，1）时，f（x）=a^x+b^x-c^x=${c}^{x}[（\frac{a}{c}）^{x}+（\frac{b}{c}）^{x}-1]$＞${c}^{x}•\frac{a+b-c}{c}$＞0，∴①正确．
②令a=2，b=3，c=4，则a．b．c可以构成三角形，但a²=4，b²=9，c²=16却不能构成三角形，∴②正确．
③∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC为钝角三角形，∴a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴根据根的存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正确．
故选：D．

点评 本题综合性较强，考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理，考查指数函数的性质，以及余弦定理的应用，难度较大．