Question

5．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}{x}^{2}+bx+c$，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（3）偶函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意得方程组解出b，c的值即可；
（2）分别讨论当a＞0时，求出导数大于0的解，导数小于0的解，从而求出函数的单调区间；
（3）求出g（x）的解析式和导数，由题意可得g′（x）≤0在（-2，-1）成立，运用参数分离和基本不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f′（x）=x²-ax+b，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f′（0）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=0}\end{array}\right.$；
（2）由（1），得f′（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）
由f'（x）=0得x=0或x=a，
当a＞0时，当x∈（-∞，0）∪（a，+∞）时，f'（x）＞0
当x∈（0，a）时，f'（x）＜0；
故当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）与（a，+∞），
单调减区间为（0，a）；
（3）函数g（x）=f（x）+2x=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+2x+1，
g′（x）=x²-ax+2，
g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，
即为g′（x）≤0在（-2，-1）成立，
即为x²-ax+2≤0成立，
即有a≤x+$\frac{2}{x}$在（-2，-1）成立，
由x+$\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=-2$\sqrt{2}$，
当且仅当x=-$\sqrt{2}$取得最大值．
即有a≤-2$\sqrt{2}$．
当a=-2$\sqrt{2}$时，g′（x）=x²+2$\sqrt{2}$x+2=（x+$\sqrt{2}$）²≥0，
g（x）递增，不成立．
则实数a的取值范围是（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了函数的单调性，曲线的切线问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．