Question

14．已知数列{a_n}各项均为正数，首项a₁=1，且其前n项和S_n满足S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n∈N^*且n≥2），则a₂₁=（　　）

• A． 120
• B． 160
• C． 200
• D． 240

Answer 1

分析 通过将S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n∈N^*且n≥2）两边同除以$\sqrt{{S}_{n}}$•$\sqrt{{S}_{n-1}}$可知$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=2，进而可知数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列，利用a_n=S_n-S_n-1计算即得结论．

解答 解：∵S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n∈N^*且n≥2），a_n＞0，
∴$\frac{{S}_{n}\sqrt{{S}_{n-1}}-{S}_{n-1}\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n-1}}\sqrt{{S}_{n}}}$=$\frac{2\sqrt{{S}_{n-1}{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{n-1}\sqrt{{S}_{n}}}}$，
即$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=2，
又∵$\sqrt{{S}_{1}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$=1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=（2n-1）²=4n²-4n+1，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（4n²-4n+1）-[4（n-1）²-4（n-1）+1]
=8n-8（n≥2），
∴a₂₁=21•8-8=160，
故选：B．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．