Question

5．已知定义在R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1，1]时，f（x）=1+x²，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+sinπx，（x≥0）}\\{1-\frac{1}{x}，（x＜0）}\end{array}\right.$，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-3，5]上的零点个数为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 通过讨论①x＜0时，画出函数f（x）和g（x）=1-$\frac{1}{x}$的图象，得到x＜0时的交点的个数，②x≥0时，画出函数的草图，求出函数f（x）和g（x）=1+sinπx在区间[0，5]上，有6个交点，即可得出结论．

解答 解：①x＜0时，由题意，f（x）=g（x），
画出函数f（x），g（x）在[-3，0）上的图象，如图示：

在区间[-3，-2），（-2，0）间分别有一个交点，
故函数f（x），g（x）在[-3，0）上有2个交点，
②x≥0时，在区间[0，5]上，由图象可得有6个交点，零点有6个，
综合①②共8个交点，
故选：A．

点评 关键是把函数有零点的问题，转化成两函数在某区间内有交点的问题，属中档题．