Question

14．已知数列{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，a₁=-6，S₃=S₄．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=${2^{{a_{n+4}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用a₄=S₄-S₃，结合等差数列的通项公式，可得公差，进而得到通项公式；
（Ⅱ）求得b_n，再由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）因为S₃=S₄，所以a₄=0．
因为数列{a_n}是等差数列，a₁=-6，
所以-6+3d=0，即有d=2．
所以a_n=-6+2（n-1）=2n-8．
（Ⅱ）由a_n=2n-8可得a_n+4=2（n+4）-8=2n，
所以${b_n}={2^{{a_{n+4}}}}={4^n}$．
从而可知{b_n}是首项b₁=4，公比为4的等比数列，
所以其前n项和为$\frac{{4（1-{4^n}）}}{1-4}=\frac{{4（{4^n}-1）}}{3}$．

点评 本题考查等差数列的通项和等比数列的通项及求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．