Question

14．已知等差数列{a_n}中a₂=9，a₅=21．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}={2^{{a_n}-1}}$，求数列{log₂b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用a₅-a₂=3d计算可得公差，进而可得结论；
（2）通过对数的性质化简可知数列$\left\{{log_2^{b_n}}\right\}$是以4为首项、4为公差的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵a₂=9，a₅=21，
∴a₅-a₂=3d，∴d=4，
∴a_n=a₂+（n-2）•d=4n+1；
（2）∵a_n=4n+1，
∴${b_n}={2^{{a_n}-1}}={2^{4n}}$，
∴log₂$_2^{b_n}$=$log_2^{{2^{4n}}}$=4n，
∴数列$\left\{{log_2^{b_n}}\right\}$是以4为首项、4为公差的等差数列，
∴${S_n}=\frac{n（4+4n）}{2}=2{n^2}+2n$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．