Question

10．定义：称$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$为n个正数p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{n+2}$，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，试判断并说明数列{c_n}的单调性；
（3）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）易知数列{a_n}的前n项S_n=n²+2n，利用S_n-S_n-1可知当n≥2时的通项公式，进而可得结论；
（2）通过a_n=2n+1可知c_n=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，利用作差法计算即得结论；
（3）通过c_n=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，写出S_n、3S_n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）设数列{a_n}的前n项为S_n，依题意有S_n=n²+2n，
当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1；
综上，a_n=2n+1；
（2）∵a_n=2n+1，
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，c_n+1=$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$，
∵c_n+1-c_n=$\frac{2n+3}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$=-$\frac{4n}{{3}^{n+1}}$＜0，
∴数列{c_n}是递减数列；
（3）∵c_n=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
∴S_n=3•$\frac{1}{{3}^{1}}$+5•$\frac{1}{{3}^{2}}$+7•$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$，
3S_n=3•$\frac{1}{{3}^{0}}$+5•$\frac{1}{{3}^{1}}$+7•$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{3}^{n-2}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
两式相减得：2S_n=3+2（$\frac{1}{{3}^{1}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-2}}$+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=3+$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{3}^{n}}$
=4-$\frac{2n+4}{{3}^{n}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和、数列的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．