Question

【题目】如图，公园内有一块边长为的正三角形空地，拟改建成花园，并在其中建一直道方便花园管理. 设分别在上，且均分三角形的面积.

（1）设（），，试将表示为的函数关系式；

（2）若是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，的位置应在哪里？若是参观路线，希望其最长，的位置应在哪里？

Answer 1

【答案】（1）；（2）当取且时，最短；当与重合且为中点，或与重合且为中点时，最长

【解析】

（1）根据均分三角形的面积可得，即得，再由余弦定理可得表达式；（2）令，设，用定义讨论函数单调性，求得的最大值和最小值，再由（1）中得到的关系式，可得的最大值和最小值.

（1）均分三角形的面积，，，即，

在中，由余弦定理得，

因为，所以 解得，

故关于的函数关系式为.

（2）由（1），令，则，且.设.

若，则，

所以在上是减函数. 同理可得在上是增函数.

于是当即时，代入解得：，此时，且，

当或即或时，代入解得：，此时为或上的中线.

故当取，且时，最短；

当与重合且为中点，或与重合且为中点时，最长.