Question

14．已知f（x）=a+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$为奇函数，求常数a的值及f（x）的值域．

Answer 1

分析 由题意可得f（-1）+f（1）=0，可得a值，再由定义域和反比例函数以及不等式的性质可得函数的值域．

解答 解：由2^x-1≠0可得x≠0，可得函数的定义域为{x|x≠0}，
∵f（x）=a+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$是奇函数，∴f（-1）+f（1）=0，
∴a+$\frac{1}{{2}^{-1}-1}$+a+$\frac{1}{{2}^{1}-1}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$，
∵x≠0，∴2^x＞0且2^x≠1，
∴2^x-1＞-1且2^x-1≠0，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$＞0或 $\frac{1}{{2}^{x}-1}$＜-1，
∴$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$或 $\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴函数的值域为（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题考查函数的奇偶性和函数的值域，属基础题．