Question

9．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$，a∈R．
（1）若a=0，试求函数f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜2}，求实数a的值；
（3）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$，当x=0时，f（x）=0，当x≠0时，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$，由基本不等式和不等式的性质可得值域；
（2）由题意可得-$\frac{1}{2}$和2为方程$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$=0的根，代值解方程可得a值；
（3）问题可化为（a-1）x²+2x-1-a＞0，针对二次项系数a-1分类讨论可得．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$，
当x=0时，f（x）=0，
当x≠0时，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$，
由基本不等式可得当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，当x＜0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2，
∴x+$\frac{1}{x}$-1≥1或x+$\frac{1}{x}$-1≤-3，∴0＜$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$≤1或-$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$＜0，
综合可得函数f（x）的值域为[-$\frac{1}{3}$，1]；
（2）∵不等式f（x）＞0的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜2}，
∴-$\frac{1}{2}$和2为方程$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$=0的根，
代入可解得a=-$\frac{2}{3}$；
（3）不等式f（x）＞1可化为$\frac{a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}-x+1}$＞1，
由x²-x+1恒大于0可得ax²+x-a＞x²-x+1，
整理可得（a-1）x²+2x-1-a＞0，
当a=1时，不等式可化为2x-2＞0，解集为{x|x＞1}；
当a＞1时，△=4-4（a-1）（-1-a）=4a²＞0，
此时方程（a-1）x²+2x-1-a=0的两根为$\frac{a+1}{1-a}$和-1，
此时不等式的解集为{x|$\frac{a+1}{1-a}$＜x＜-1}；
当a＜1时，△=4-4（a-1）（-1-a）=4a²＞0，
此时方程（a-1）x²+2x-1-a=0的两根为$\frac{a+1}{1-a}$和-1，
此时不等式的解集为{x|x＜$\frac{a+1}{1-a}$或x＞-1}．

点评 本题考查函数的值域和不等式的解集，涉及分类讨论的思想，属中档题．