Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，F分别是AA₁，BB₁，BC的中点．
（1）求证：D₁N垂直B₁F；
（2）求直线CM与D₁N所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（2）以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系D-xyz，分别求出CM与D₁N的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出CM与D₁N所成角的余弦值．

解答： （1）证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系D-xyz，如图

设正方体的棱长为2，则D₁（0，0，2）、N（2，2，1）、B₁（2，2，2）、F（1，2，0），

D1N

=（2，2，-1），

B1F

=（-1，0，-2）
所以

D1N

•

B1F

=-2+0+2=0，
所以D₁N垂直B₁F；
（2）解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD₁分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，D-xyz，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M，N分别为AA₁、BB₁的中点
则C（0，2，0）、D₁（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1）
∴

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1）
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM || D1N |

=

-1

9

，
所以CM与D₁N所成的角的余弦值为

1

9

．

点评：本题考查了正方体为载体的线线垂直的判定和异面直线所成的角的求法；本题借助于空间向量的数量积解答的，注意题目的转化方法．