Question

已知点F(0，

p

2

)（p＞0，p是常数），且动点P到x轴的距离比到点F的距离小

p

2

．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）（i）已知点M（2，2），若曲线E上存在不同两点A、B满足

AM

+

BM

=

0

，求实数p的取值范围；
（ii）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标，利用点F(0，

p

2

)（p＞0，p是常数），且动点P到x轴的距离比到点F的距离小

p

2

，建立方程，化简可得结论；
（2）（i）确定M为AB的中点，设出直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，可得结论；
（ii）假设存在，求出圆心坐标之间的关系，利用抛物线L在点C处切线的切线与NC垂直，即可确定C的坐标．

解答：解：（1）设P（x，y），则
∵点F(0，

p

2

)（p＞0，p是常数），且动点P到x轴的距离比到点F的距离小

p

2

，
∴|y|=

x2+(y- p 2 )2

+

p

2

，化简可得x²=2py；
（2）（i）设A，B两点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

=

0

，可得M为AB的中点，即x₁+x₂=4．
显然直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+2-2k，
将y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．…（2分）
∴

△=4p2k2-16(k-1)p＞0 x1+x2=2pk=4.

，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．
（ii）当p=2时，由（i）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．
假设抛物线L：x²=4y上存在点C(t， 

t2

4

)（t≠0且t≠4），使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为N（a，b），
∵

|NA|=|NB| |NA|=|NC|.

，∴

a2+b2 = (a-4)2+(b-4)2 a2+b2 = (a-t)2+(b- t2 4 )2 .

，
即

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3.

，解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8 .

∵抛物线L在点C处切线的斜率为k=y′|x=t=

t

2

，而t≠0，且该切线与NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，即2a+bt-2t-

1

4

t3=0．
将a=-

t2+4t

8

，b=

t2+4t+32

8

代入上式，得t³-2t²-8t=0．
即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．
故满足题设的点C存在，其坐标为 （-2，1）．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线，考查学生的综合能力，难度较大．