Question

20．已知函数f（x）=x²-x-axlnx（a∈R），g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（Ⅰ）讨论g（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）不论a取何值，函数f（x）与g（x）总交于一定点，求证：两函数在此点处的切线重合；
（Ⅲ）若a＜0，对于?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[e，e²]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得g（x）的解析式和导数，对a讨论，求出单调区间和极值；
（Ⅱ）求出定点（1，0），求出f（x）、g（x）的导数和切线的斜率，即可得证；
（Ⅲ）当a＜0时，分别判断f（x），g（x）的导数的符号，得到单调性，可得f（x），g（x）的最大值，由f（x）_max不大于g（x）_max，解a的不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²-x-axlnx（a∈R），
g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x-1-alnx，x＞0，
可得g′（x）=1-$\frac{a}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无极值；
当a＞0时，x＞a时g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）递增；
0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）递减，
可得g（x）在x=a处取得极小值，且为a-1-alna，无极大值；
（Ⅱ）证明：由f（x）=x²-x-axlnx，g（x）=x-1-alnx，x＞0，
可得f（1）=g（1）=0，定点为（1，0），
f′（x）=2x-1-a（1+lnx），g′（x）=1-$\frac{a}{x}$，
可得f′（1）=2-1-a（1+ln1）=1-a，g′（1）=1-a，
即有切线的斜率相等，又它们均过定点（1，0），
则两函数在此点处的切线重合；
（Ⅲ）当a＜0时，由f′（x）=2x-1-a（1+lnx）＞0在[1，e]恒成立，
可得f（x）在[1，e]递增，即有f（e）取得最大值e²-e-ae；
由g′（x）=1-$\frac{a}{x}$＞0在[e，e²]恒成立，
可得g（x）在[e，e²]递增，即有g（e²）取得最大值e²-1-2a；
由对于?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[e，e²]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
可得e²-e-ae≤e²-1-2a，
解得$\frac{1-e}{e-2}$≤a＜0．
即a的范围是[$\frac{1-e}{e-2}$，0）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间和极值、最值，考查恒成立和存在性问题的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．