Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的极值；

（3）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）求导，把代入导函数中，求出曲线在点处的切线的斜率，再求出的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；

（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出的极值；

（3）函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，即在区间上，有解，这就要求函数在上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数的取值范围.

（1）因为，所以，所以有，

而，曲线在点处的切线方程为：

；

（2）函数的定义域为， ，

令，得，当时，是增函数；

当时，是减函数，所以函数在处取得极大值，即为，所以的极值为；

（3）①当时，即时，由（2）可知：当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数在处取得极大值，即为，所以的最大值为，又当时，函数的值为零，故当

时，，当时，，函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，等价于，解得；

②当时，即时，由（2）可知函数在上单调递增，函数在上的最大值为，原问题等价于，解得，而，所以无解，综上所述：实数的取值范围是.