Question

【题目】已知函数．

（1）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；

（2）设函数，若在上有两个不同极值点，求的取值范围，并判断极值的正负．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）把恒成立转化为在上恒成立。设函数， 求导求函数的最小值，只需。（2）， 转化为g(x)的导函数在有奇次根。，令

，则．由，得．结合函数图象可知， 在上存在极值，分或两种情况讨论。

试题解析：（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

设函数， ．

则．

设．

则．易知当时， ．

∴在上单调递增，且．

即对恒成立．

∴在上单调递增．

∴当时， ．

∴，即的取值范围是．

（Ⅱ）， ．

∴ ．

设，则．

由，得．

当时， ；当时， ．

∴在上单调递增，在上单调递减．

且， ， ．

显然．

结合函数图象可知，若在上存在极值，

则或．

（ⅰ）当，即时，

则必定，使得，且．

当变化时， ， ， 的变化情况如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴当时， 在上的极值为，且．

∵ ．

设，其中， ．

∵，∴在上单调递增， ，当且仅当时取等号．

∵，∴．

∴当时， 在上的极值．

（ⅱ）当，即时，

则必定，使得．

易知在上单调递增，在上单调递减．

此时， 在上的极大值是，且．

∴当时， 在上的极值为正数．

综上所述：当时， 在上存在极值，且极值都为正数．