Question

10．设函数f（x）=$\frac{lnx}{x^2}$．
（1）求f（x）的极大值；
（2）当方程f（x）-$\frac{a}{2e}$=0（a∈R⁺）有唯一解时，方程g（x）=txf'（x）+$\frac{{a{x^2}-2tx-t}}{x^2}$=0也有唯一解，求正实数t的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出a的值，问题转化为x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解，设G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0），根据函数的单调性求出G（x）的极小值，从而求出t的范围即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{x-2xlnx}{x^4}=\frac{1-2lnx}{x^3}$．…（2分）
由f'（x）=0得$x=\sqrt{e}$，…（3分）

x	$（0，\sqrt{e}）$	$\sqrt{e}$	$（\sqrt{e}，+∞）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

从而f（x）在$（0，\sqrt{e}）$单调递增，在$（\sqrt{e}，+∞）$单调递减，
$f{（x）_{极大}}=f（\sqrt{e}）=\frac{1}{2e}$．…（6分）
（2）由（1）的结论知方程$f（x）-\frac{a}{2e}=0（a∈{R^+}）$有唯一解⇒a=1…（7分）
方程$g（x）=txf'（x）+\frac{{a{x^2}-2tx-t}}{x^2}=0$有唯一解
即x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解
设G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）
∴$G'（x）=\frac{2}{x}（{x^2}-tx-t）$
令G'（x）=0则x²-tx-t=0
设x²-tx-t=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂
∵t＞0
∴x₁＜0＜x₂，
∴${x_1}=\frac{{t-\sqrt{{t^2}+4t}}}{2}，{x_2}=\frac{{t+\sqrt{{t^2}+4t}}}{2}$，
∴G（x）在区间（0，x₂）上递减，在区间（x₂，+∞）递增，
从而G（x）在x=x₂处取得极小值，
要使G（x）=x²-2tlnx-2tx=0（x＞0）有唯一解，则G（x₂）=0，
即：${x_2}^2-2tln{x_2}-2t{x_2}=0$①，
∵G（x）在x=x₂处取得极小值，
∴${x_2}^2-t{x_2}-t=0$②，
由①②得：2tlnx₂+tx₂-t=0，
即：2lnx₂+x₂-1=0∴x₂=1，
又∵x₂是方程x²-tx-t=0的根，
∴1-t-t=0，从而$t=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．