Question

5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁，BC₁上，且AM=$\frac{1}{3}$AB₁，BN=$\frac{1}{3}$BC₁，则下列结论：
①AA₁⊥MN　
②A₁C₁∥MN
③MN∥面A₁B₁C₁D₁　
④B₁D₁⊥MN
正确命题的序号是①③．

Answer 1

分析 由题意在四条棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分别取点G，F，E，H四点，使AG=$\frac{1}{3}$A₁A，BF=$\frac{1}{3}$B₁B，CE=$\frac{1}{3}$C₁C，DH=$\frac{1}{3}$D₁D，得到平面GFEH，则点M，N在与平面A₁B₁C₁D₁平行的平面GFEH中．利用线面垂直的性质判断①正确；利用平行公理判断②错误；利用面面平行的性质判断③正确；利用面面平行以及线线垂直的性质判断④错误．

解答 解；在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的四条棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分别取点G，F，E，H四点，
使AG=$\frac{1}{3}$A₁A，BF=$\frac{1}{3}$B₁B，CE=$\frac{1}{3}$C₁C，DH=$\frac{1}{3}$D₁D，连接GF，FE，EH，HG，
∵点M、N分别在AB₁、BC₁上，且AM=$\frac{1}{3}$AB₁，BN=$\frac{1}{3}$BC₁，
∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，
∵MN?平面GFEH，∴AA₁⊥MN，故①正确；
∵A₁C₁∥GE，而GE与MN不平行，∴A₁C₁与MN不平行，故②错误；
∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，故③正确；
∵B₁D₁∥FH，FH?平面GFEH，MN?平面GFEH，且MN与FH不垂直，∴B₁D₁与MN不垂直，故④错误．
∴正确命题只有①③．
故答案为：①③．

点评 本题主要考查立体几何中，线线，线面，面面平行与垂直性质的应用，考查了学生推论能力和空间想象力，属中档题．