Question

19．已知函数f（x）=e^x-2x．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，e^x＞x²；
（3）当x＞0时，方程f（x）=kx²-2x无解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值即可；
（2）设函数g（x）=e^x-x²，求出函数的导数，得到g（x）的单调性，求出g（x）＞g（0），从而证出结论；
（3）问题转化为即x＞0时，e^x＞kx²恒成立，令h（x）=e^x-kx²，（x＞0），求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调性，从而确定k的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=e^x-2x（x∈R），
∴f′（x）=e^x-2；
令f′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
∴函数f（x）的极值是：f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
（2）证明：设函数g（x）=e^x-x²，
∴g′（x）=e^x-2x；
由（1）知f（x）=e^x-2x在x=ln2取得极小值，
∴g′（x）≥f（ln2）=eln2-ln2=2-ln2＞0，
∴g（x）是R上的增函数，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=1＞0，
∴e^x＞x²；
（3）当x＞0时，方程f（x）=kx²-2x无解，
即x＞0时，e^x=kx²无解，
即x＞0时，e^x＞kx²恒成立，
令h（x）=e^x-kx²，（x＞0），h′（x）=e^x-2kx，
①k≤0时，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，
h（x）＞h（0）=1＞0，满足题意；
②k＞0时，由（2）得：k≤1时，符合题意，
综上，k≤1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．