Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，m）处的切线方程为y=﹣3x+1
（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式．
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，

∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，

∴f′（x）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，

又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2，得a+b+c=﹣1

函数f（x）在x=﹣2时有极值，

∴f′（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，

解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，

∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3

（2）解：∵函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，

∴导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，

则 ，得b≥4，

∴实数b的取值范围为[4，+∞）．

【解析】（1）求出原函数的导函数，由题意得f′（x）=﹣3，f（1）=﹣2，再结合f′（﹣2）=0联立方程组求得a，b，c的值，则f（x）的表达式可求；（2）把函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增转化为f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，进一步转化为关于b的不等式组得答案．