【题目】已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M,且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为
.
(Ⅰ)证明直线AB恒过定点,并求定点的坐标;
(Ⅱ)求三角形ABM的面积的最大值.
【答案】(1)直线恒过定点
.(2)
【解析】试题分析:利用设而不求思想设出点的坐标,首先考虑 直线斜率不存在的情况,然后研究直线斜率存在的一般情况,设出直线斜截式方程与椭圆方程联立方程组,代入整理后写出根与系数关系,根据MA、MB的斜率之积为,代入
,解出
,得出直线过定点
,第二步联立方程组后利用判别式大于零,求出k的范围,表示三角形的面积,利用基本不等式求出最值 .
试题解析:
解:(Ⅰ)由椭圆的方程得,上顶点
,记
由题意知,
,若直线
的斜率不存在,则直线
的方程为
,故
,且
,因此
,与已知不符,因此直线
的斜率存在,设直线
:
,代入椭圆
的方程
得:
………①
因为直线与曲线
有公共点
,所以方程①有两个非零不等实根
,
所以,
又,
,
由 ,得
即
所以
化简得: ,故
或
,
结合知
,
即直线恒过定点
.
(Ⅱ)由且
得:
或
,
又
,当且仅当
,即
时,
的面积最大,最大值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面四边形ABCD中,△BCD是正三角形,AB=AD=1,∠BAD=θ.
(Ⅰ)将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数;
(Ⅱ)求S的最大值及此时θ的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】猜商品的价格游戏, 观众甲: 主持人:高了! 观众甲:
主持人:低了! 观众甲:
主持人:高了! 观众甲:
主持人:低了! 观众甲:
主持人:低了! 则此商品价格所在的区间是 ( )
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数的定义域为
,对给定的正数
,若存在闭区间
,使得函数
满足:①
在
内是单调函数;②
在
上的值域为
,则称区间
为
的
级“理想区间”.下列结论错误的是( )
A. 函数(
)存在1级“理想区间”
B. 函数(
)不存在2级“理想区间”
C. 函数(
)存在3级“理想区间”
D. 函数,
不存在4级“理想区间”
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,且两坐标系有相同的长度单位.已知点
的极坐标为
,
是曲线
:
上任意一点,点
满足
,设点
的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若过点的直线
的参数方程
(
为参数),且直线
与曲线
交于
,
两点,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分,(1)小问7分,(2)小问5分)
设函数
(1)若在
处取得极值,确定
的值,并求此时曲线
在点
处的切线方程;
(2)若在
上为减函数,求
的取值范围。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为
),圆
的参数方程为:
(其中
为参数).
(1)判断直线与圆
的位置关系;
(2)若椭圆的参数方程为(
为参数),过圆
的圆心且与直线
垂直的直线
与椭圆相交于
两点,求
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的点处,乙船在中间
点处,丙船在最后面的
点处,且
.一架无人机在空中的
点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得
,
.(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)
(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;
(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是直线
上任意一点,过
作
,线段
的垂直平分线交
于点
.
(Ⅰ)求点的轨迹
对应的方程;
(Ⅱ)过点的直线
与点
的轨迹
相交于
两点,(
点在
轴上方),点
关于
轴的对称点为
,且
,求
的外接圆的方程.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com