Question

【题目】正方体中，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为____．

Answer 1

【答案】

【解析】

解法一：连结，可证得为异面直线与所成角或其补角，然后在中利用余弦定理可求得结果；

解法二：如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；

解法三：由于，所以以为基底，将，用基底表示出来，再向量夹角公式求解.

解法一：连结，因为四边形为正方形，为中点，所以．因为，所以四边形为平行四边形，所以，又为中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，

所以为异面直线与所成角或其补角．设正方体的棱长为2，在中，；

同理可求．在中，

，

故异面直线与所成角的余弦值为．

解法二：如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则各点的坐标为，所以，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

解法三：设正方体的棱长为2，

则，，

由三条直线两两垂直得，

所以，

，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

故答案为：