Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.7x，
年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y=3240（-x²+2x+

5

3

），则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少（年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量）？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意设本年度的年利润为z万元；则z=3240（0.9x-3）（x²-2x-

5

3

），（0＜x＜1），求导从而确定函数的单调性，从而求函数的最大值即可．

解答： 解：由题意，本年度的年利润为z万元；
则z=（13+13×0.7x-（10+10x））（3240（-x²+2x+

5

3

））
=3240（0.9x-3）（x²-2x-

5

3

），（0＜x＜1）
z′=3240[0.9（x²-2x-

5

3

）+（0.9x-3）（2x-2）]
=972（x-3）（9x-5）；
故z=3240（0.9x-3）（x²-2x-

5

3

）在（0，

5

9

）上是增函数，
在（

5

9

，1）上是减函数，
故当x=

5

9

时，z有最大值z=20000；
故当x为

5

9

时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．