Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线l与椭圆交于A，B两点，使得

OA

•

OB

=

2

3

且S_△AOB=

2

3

（O为坐标原点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

2b=2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）若直线的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由此利用韦达定理、向量数量积、椭圆弦长公式结合已知条件能求出直线l为y=±x±

2

；若直线的斜率不存在，则设直线l的方程为x=n，n∈（-

2

，

2

），由已知条件得这样的直线不存在．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且短轴长为2，
∴

2b=2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）若直线的斜率存在，则设直线l的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得

x1+x2= -4mk 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2

3

，
即

3m2-2k2-2

1+2k2

=

2

3

，即9m²=10k²+8，
S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

m2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

1

2

8m2(1+2k2-m2) (1+2k2)2

=

2

3

，
即9m²（1+2k²-m²）=（1+2k²）²，
由

9m2(1+2k2-m2)=(1+2k2)2 9m2=10k2+8

，
解得k²=1，m²=2，
此时△=（4mk）²-4（1+2k²）（2m²-2）=8＞0
∴y=±x±

2

，
若直线的斜率不存在，则设直线l的方程为x=n，n∈（-

2

，

2

），
则A（n，-

2-n2 2

），B（n，

2-n2 2

），
不能同时满足

OA

•

OB

=

2

3

和S△AOB=

2

3

，
∴这样的直线不存在．
综上所述，存在直线l与椭圆交于A，B点，使得

OA

•

OB

=

2

3

且S△AOB=

2

3

，
其方程为y=±x±

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．