Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0＜x＜1，都有f(x)=lnx-

1

x

，则a=f(

2009

4

)，b=f(

2011

2

)，c=f(

2012

3

)的大小关系是（　　）

• A、c＜a＜b
• B、a＜c＜b
• C、c＜b＜a
• D、a＜b＜c

Answer 1

分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0＜x＜1，都有f(x)=lnx-

1

x

，知y=f（x）在（0，1）上是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．

解答：解：∵对任意0＜x＜1，都有f(x)=lnx-

1

x

，
∴函数在区间（0，1）上为增函数，且f（x）＜-1
又∵y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），f（-x+1）=-f（x+1），
∴f（x）是周期为4的函数
∴a=f(

2009

4

)=f(

9

4

)=-f(

1

4

)
b=f(

2011

2

)=f(

3

2

)=-f(

1

2

)
c=f(

2012

3

)=f（-

8

3

）=-f（

1

3

）
∴c＜b＜a
故选C

点评：本题考点是函数奇偶性的运用，考查综合利用奇偶性来研究函数的性质，利用函数的单调性比较大小，在本题三数的大小比较中，利用到了把三数转化到一个单调区间上来比较的技巧．在利用单调性比较大小时注意这一转化技巧的运用．