Question

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求证：a≠1时，{a_n-1}是等比数列，并求{a_n}通项公式．
（2）设a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：数列{b_n}的前n项的和S_n．
（3）设a=

3

4

、c=-

1

4

、cn=

3+an

2-an

．记d_n=c_2n-c_2n-1，数列{d_n}的前n项和T_n．证明：Tn＜

5

3

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）a_n+1=ca_n+1-c，可得a_n+1-1=c（a_n-1），从而可得a≠1时，{a_n-1}是等比数列，即可求{a_n}通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项，利用错位相减法，可求数列的和；
（3）确定数列{d_n}的通项．利用放缩法求和，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1时，{a_n-1}等比数列．
∵a₁-1=a-1，∴an-1=(a-1)cn-1，∴an=(a-1)cn-1+1
（2）解：由（1）可得an=-

1

2

(

1

2

)n-1+1=-(

1

2

)n+1
∴bn=n•(

1

2

)n
∴S_n=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
两式相减可得

1

2

S_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-

n+2

2n+1

∴Sn=2-

n+2

2n

（3）证明：Cn=4+

5

(-4)n-1

，
dn=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

＜

25

16n

∴Tn=d1+d2+…+dn＜25(

1

16

+

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)=

25× 1 16 (1-( 1 16 )n)

1- 1 16

=

5

3

(1-

1

16n

)＜

5

3

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．