Question

已知函数，其中，
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）分别在上单调递增，在上单调递减；（3）不存在，使得.

试题分析：（1）当时，，那么曲线在点处的切线的斜率，根据点斜式写出直线的方程为；（2）函数求导得，
由于函数的定义域是，因此只需要讨论分子在上的正负问题；（3）假设存在，使得，那么计算出，问题归结为是否成立，可设函数， ，所以在上单调递增，因此不存在，使得.
试题解析：（1）当时，，所以 
， ，
又因为切线过，所以切线方程为 
（2）的定义域为，
令，其判别式     
①当，故上单调递增
② 当，的两根都小于0，在上，，故上单调递增．     
③当，设的两根为，  
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
（3）由（2）可知：当在上有两个极值点 
因为
所以   
由（2）可知：，于是，
若存在，使得，则，即，
亦即   
设函数，
当时， ，所以在上单调递增，
而，所以，
这与式矛盾．故不存在，使得