Question

在一次考试中，由于不慎，致使一选择题已知条件被黑色墨水覆盖，原题为：已知α、β均为锐角，且sinα-sinβ=-

1

2

，

 

，则tan（α-β）的值为

 

A.

7

3

 B.

3

7

 C．-

7

3

 D．-

3

7

其中

 

为覆盖部分，试根据所附答案为C，推断并补出被覆盖部分．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：逆推：根据所附答案可得tan（α-β）=-

7

3

，可得sinα-sinβ=sin[（α-β）+β]-sin[α-（α-β）]=-

1

2

，由两角和与差得正弦展开并整理，又角的范围和同角三角函数的基本关系可求cos（α-β）和sin（α-β）的值，代入可解cosα+cosβ=-

3 7

14

，可得答案．

解答： 解：根据所附答案为C，可得tan（α-β）=-

7

3

，
又sinα-sinβ=-

1

2

，∴sin[（α-β）+β]-sin[α-（α-β）]=-

1

2

，
由两角和与差得正弦展开并整理可得（sinβ-sinα）cos（α-β）+（cosα+cosβ）sin（α-β）=0，（*）
∵α、β均为锐角，∴-

π

2

＜α-β＜

π

2

，又tan（α-β）=-

7

3

＜0，∴-

π

2

＜α-β＜0，
∴cos（α-β）=

3

4

，sin（α-β）=-

7

4

，
代入（*）式可得-

1

2

×

3

4

-

7

4

（cosα+cosβ）=0，
解得cosα+cosβ=-

3 7

14

故答案为：cosα+cosβ=-

3 7

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点评：本题考查三角函数公式，涉及分析法推理，属中档题．