Question

已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=

33 24

，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=

8 1

在矩阵B的作用下变换为β，求M⁵⁰β（运算结果用指数式表示）．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,矩阵变换的性质

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）利用待定系数法，求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）利用特征多项式，求特征值，进而可求特征向量；
（3）确定β=

0 1 1 2 0

8 1

=

1 4

=

14

5

1 1

-

3

5

3 -2

，再求M⁵⁰β．

解答： 解：（1）矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，为

1 0 0 2

，
将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°，为A=

0 2 1 0

．
设B=

a b c d

，则

a b c d

0 2 1 0

=

1 0 0 1

，即a=0，b=1，c=

1

2

，d=0，
∴B=

0 1 1 2 0

；
（2）特征多项式f（λ）=

.

λ-3 3 2 λ-4

.

，
令f（λ）=0，解得M的特征值λ₁=6，λ₂=1，
设

e2

=

x y

是矩阵M属于特征值λ₂=1的特征向量，
则

33 24

x y

=

x y

，∴

3x+3y=x 2x+4y=y

取x=3，得

e2

=

3 -2

，
同理矩阵M属于特征值λ₂=6的特征向量为

1 1

；
（3）β=

0 1 1 2 0

8 1

=

1 4

=

14

5

1 1

-

3

5

3 -2

，
∴M⁵⁰β=

14

5

•6⁵⁰

1 1

-

3

5

•

3 -2

．

点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．