Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（Ⅰ）证明f（x）在[-1，1]上是增函数；
（Ⅱ）解不等式f（x²-1）+f（3-3x）＜0
（Ⅲ）若f（x）≤t²-2at+1对?x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）任取-1≤x₁＜x₂≤1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)，由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x1-x2＜0，可比较f（x₁）与f（x₂）的大小，由单调性的定义可作出判断；
（Ⅱ）利用函数的奇偶性可把不等式化为f（x²-1）＜f（3x-3），在由单调性得x²-1＜3x-3，还要考虑定义域；
（Ⅲ）要使f（x）≤t²-2at+1对?x∈[-1，1]恒成立，只要f（x）_max≤t²-2at+1，由f（x）在[-1，1]上是增函数易求f（x）_max，再利用关于a的一次函数性质可得不等式组，保证对a∈[-1，1]恒成立；

解答： 解：（Ⅰ）任取-1≤x₁＜x₂≤1，
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

(x1-x2)，
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁+（-x₂）≠0，
由已知

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，x1-x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数；
（Ⅱ）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且在[-1，1]上是增函数，
∴不等式化为f（x²-1）＜f（3x-3），
∴

x2-1＜3x-3 -1≤x2-1≤1 -1≤3x-3≤1

，解得x∈(1，

4

3

]；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，
要使f（x）≤t²-2at+1对?x∈[-1，1]恒成立，只要t²-2at+1≥1⇒t²-2at≥0，
设g（a）=t²-2at，对?a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
∴

g(-1)=t2+2t≥0 g(1)=t2-2t≥0

⇒

t≥0或t≤-2 t≥2或t≤0

，
∴t≥2或t≤-2或t=0．

点评：本题考查抽象函数的单调性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可从恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．