Question

已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若对于任意x∈（

1

2

，2]不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）记函数f（x）=mx²-2x-m+1，分类讨论，结合函数的图象，建立不等式，综合可得结论；
（2）由题意-2≤m≤2，设g（m）=（x²-1）m+（1-2x），则由题意可得

g(-2)＜0 g(2)＜0

，由此求得x的取值范围．

解答： 解：（1）记函数f（x）=mx²-2x-m+1，则…（1分）
①当m=0时，-2x+1＜0，其解集为(

1

2

，+∞)，显然成立；…（3分）
②当m＞0时，函数f（x）的图象是一条开口向上的抛物线，要使对于任意x∈(

1

2

，2]不等式恒成立，只需满足条件

f( 1 2 )≤0 f(2)＜0

，即

- 3 4 m≤0 3m-3＜0

，则0＜m＜1；…（5分）
③当m＜0时，函数f（x）的图象是一条开口向下的抛物线，且f（0）=-m+1＞0，要使对于x∈(

1

2

，2]不等式恒成立，只需满足条件f(

1

2

)≤0，即-

3

4

m≤0，此时无解；…（7分）
所以，对于任意x∈(

1

2

，2]不等式恒成立时，实数m的取值范围是[0，1）．…（8分）
（2）记函数g（m）=mx²-2x-m+1=（x²-1）m-2x+1（其中m是自变量，x是参数），则函数g（m）的图象是一条直线．…（9分）
要使不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，只需满足

g(-2)＜0 g(2)＜0

，即

-2(x2-1)-2x+1＜0 2(x2-1)-2x+1＜0

…（10分）
∴

2x2+2x-3＞0 2x2-2x-1＜0

…（11分）
∴

x＜- 1+ 7 2 或x＞ 7 -1 2 1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2

…（12分）
∴

7 -1

2

＜x＜

1+ 3

2

…（13分）
∴不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立时，实数x的取值范围是(

7 -1

2

，

1+ 3

2

)．…（14分）

点评：本题主要考查一元二次不等式的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论和转化的数学思想，属于难题．