Question

下面有六个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；
④函数y=tanx在其定义域上是单调递增函数；
⑤函数y=sin（x-

π

2

）是偶函数；
⑥若

a

•

b

=0，则

a

=

0

或

b

=

0

；
其中真命题的序号是

 

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,正弦函数的图象,正切函数的单调性

专题：阅读型,三角函数的图像与性质

分析：①运用平方差公式和二倍角的余弦公式，结合三角函数的周期公式即可判断；②分终边在y轴的正半轴和负半轴上，再合并即可判断；③构造函数f（x）=sinx-x，通过求导判断单调性，由f（0）=0，即可判断；④根据正切函数的单调区间即可判断；⑤运用诱导公式，结合正弦、余弦函数的奇偶性即可判断；⑥运用向量的数量积的定义即可判断．

解答： 解：①函数y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，故函数的最小正周期为π，故①正确；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=2kπ+

π

2

或2kπ+

3π

2

，k∈Z}={α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，故②错；
③令f（x）=sinx-x，则f′（x）=cosx-1≤0，故f（x）是R上的单调递减函数，且f（0）=0，故在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有且只有一个公共点，故③错；
④函数y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z，内单调递增，故④错；
⑤函数y=sin（x-

π

2

）即y=-cosx，是偶函数，故⑤正确；
⑥若

a

•

b

=0，则

a

=

0

或

b

=

0

或

a

⊥

b

，故⑥错．
故答案为：①⑤．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查三角函数的图象与性质，考查函数的周期性、奇偶性、单调性，同时考查向量的数量积的定义，是一道基础题．