Question

已知抛物线y²=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：高考数学专题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设出B、C两点坐标，得到直线BC方程x=-ky+m，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．

解答： 解：设B、C关于直线y=kx+3对称，故可设直线BC方程为x=-ky+m，代入y²=4x，得 y²+4ky-4m=0．
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
则 BC中点M（x₀，y₀），
则y₀=

y1+y2

2

=-2k，x₀=2k²+m．
∵点M（x₀，y₀）在直线y=kx+3上，
∴-2k=k（2k²+m）+3，
∴m=-

2k3+2k+3

k

．
又∵直线BC与抛物线交于不同两点，∴△=16k²+16m＞0．
把m代入化简得-

2k3+2k+3

k

＜0，
即

(k+1)(k2-k+3)

k

＜0，
解得-1＜k＜0．
故答案为：（-1，0）

点评：本题考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．