Question

已知复数z=（1-i）²+1+3i．
（1）若z²+az+b=1-i，求实数a，b的值；
（2）若复数（

1

z

+mi）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,复数相等的充要条件

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由条件求得复数z=1+i，根据z²+az+b=1-i，利用两个复数相等的充要条件求得a和 b的值．
（2）化简复数（

1

z

+mi）² 为

1

4

-（m²-m+

1

4

）+（m-

1

2

）i，根据它对应点在复平面上对应的点在第一象限，可得 

1

4

-（m²-m+

1

4

）＞0，且 （m-

1

2

）＞0，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）∵复数z=（1-i）²+1+3i=1+i，z²+az+b=1-i，
∴2i+a（1+i）+b=1-i，即 a+b+（a+2）i=1-i，
∴a+b=1，a+2=-1．
解得a=-3，b=4．
（2）∵复数（

1

z

+mi）² =(

1

1+i

+mi)2=[

1

2

+(m-

1

2

)i]2=

1

4

-（m²-m+

1

4

）+（m-

1

2

）i
对应点在复平面上对应的点在第一象限，
∴

1

4

-（m²-m+

1

4

）＞0，且（m-

1

2

）＞0，
解得

1

2

＜m＜1，即m的范围是（

1

2

，1）．

点评：本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．