Question

已知平行四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（3，1），B（-1，1），C（-3，-1），D（1，-1）．其在矩阵M=

k 1 0 2

（k＜0）所对应的变换作用下变成菱形A′B′C′D′．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求矩阵M的逆矩阵M^-1．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）确定点（x，y）在矩阵M=

k 1 0 2

(k＜0)所对应的变换作用下变成

k 1 0 2

x y

=(kx+y，2y)，利用要使得A'B'C'D'为菱形，只需|A'B'|=|B'C'|，即可求k的值；
（Ⅱ）求出|M|=-2，即可求矩阵M的逆矩阵M^-1．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知点（x，y）在矩阵M=

k 1 0 2

(k＜0)所对应的变换作用下变成

k 1 0 2

x y

=(kx+y，2y)，
故点A（3，1）→A'（3k+1，2），B（-1，1）→B'（-k+1，2），C（-3，-1）→C'（-3k-1，-2），D（1，-1）→D'（k-1，-2）…（2分）
显然四边形A'B'C'D'为平行四边形，故要使得A'B'C'D'为菱形，
只需|A'B'|=|B'C'|，即|4k|=

4k2+8k+20

，由k＜0，解得k=-1…（4分）；
（Ⅱ）由|M|=-2，故M-1=

1

-2

2 -1 0 -1

=

-1 1 2 0 1 2

．…（7分）．

点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，考查逆矩阵的求法，比较基础．