Question

如图，设AB，CD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，连接AE，AF结分别与CD交于G，H．
（Ⅰ）设EF中点为C₁，求证：O，C₁，B，P四点共圆；
（Ⅱ）求证：OG=OH．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆內接多边形的性质与判定

专题：直线与圆,立体几何

分析：（1）由已知条件推导出∠OC₁P=∠PBO=90°，由此证明O，P，C₁，B四点共圆
（2）利用对角互补得到四点共圆，利用相似得到边长相等．

解答： 证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，
过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C₁，
∴∠OC₁P=∠PBO=90°，
∴O，P，C₁，B四点共圆．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC₁=∠OBC₁，
过F作FE₁∥CD交AE于E₁，交AB于D₁，
连接D₁C₁，BC₁，BF，
由D₁F∥DC，知∠OPC₁=∠D₁FC₁，
∴∠OBC₁=∠D₁FC₁．
∴B，F，C₁，D₁，四点共圆．…（6分）
∴∠FBA=∠FC₁D₁=∠FEA，由此D₁C₁∥AE，…（8分）
∵C₁是FE的中点，D₁是FE₁的中点，
∴

OG

D1E1

=

AO

AD1

=

OH

D1F

，∴OG=OH．…（10分）

点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长相等的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意四圆共圆的性质的灵活运用．