Question

已知二项式（5x-

1

x

）ⁿ展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；
（1）求n；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中所有x的有理项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）由已知得：4ⁿ=16•2ⁿ，即 2²ⁿ=2ⁿ⁺⁴，由此求得 n的值．
（2）根据n=4，可得展开式中二项式系数最大的项为第三项，从而根据通项公式求得第三项．
（3）在通项公式中，令x的幂指数4-

3

2

r取整数，求得r的值，可得展开式中所有的有理项．

解答： 解：（1）由已知得：4ⁿ=16•2ⁿ，即 2²ⁿ=2ⁿ⁺⁴，∴2n=n+4，∴n=4．
（2）根据n=4，可得展开式中二项式系数最大的项为第三项，
即T3=(-1)2

C

2 4

52x=150x．
（3）根据通项公式为 T_r+1=

C

r 4

•5^4-r•（-1）^r•x4-

3

2

r，
令4-

3

2

r∈z，可得 r=0、2、4，
所以展开式中所有f（x）的有理项为：T₁=625x⁴，T₃=150x，T₅=x^-2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．