Question

直线y=kx+b与曲线x²+4y²-4=0交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（3）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得到曲线为椭圆

x2

4

+y2=1，由此能求出椭圆的离心率．
（2）k=0时，设点A（x₁，b），B（x₂，b），由

x2

4

+y2=1，解得x1=2

1-b2

，x2=-2

1-b2

，由此能求出b=

2

2

时，S取到最大值1．
（3）由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，由此利用韦达定理和点到直线距离公式能求出题直线AB的方程．

解答： 解：（1）∵曲线x²+4y²-4=0，
∴曲线的方程可化为：

x2

4

+y2=1，
∴此曲线为椭圆，
∴a²=4，c²=4-1=3，c=

3

，
∴此椭圆的离心率e=

c

a

=

3

2

．…（4分）
（2）k=0时，y=kx+b为y=b，
由题意设点A的坐标为（x₁，b），点B的坐标为（x₂，b），
由

x2

4

+y2=1，解得x1=2

1-b2

，x2=-2

1-b2

，…（6分）
∴S=

1

2

b|x₁-x₂|=2b

1-b2

≤b²+1-b²=1，
当且仅当b=

2

2

时，S取到最大值1．…（8分）
（3）由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，
△=16（4k²-b²+1），①
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

16(4k2-b2+1)

4k2+1

=2，②
又∵O到AB的距离d=

|b|

1+k2

=

2S

|AB|

=1，
∴b²=k²+1，③
③代入②并整理，得4k⁴-4k²+1=0，
解得，k2=

1

2

，b2=

3

2

，代入①式检验，△＞0，
故直线AB的方程是
y=

2

2

x+

6

2

或y=

2

2

x-

6

2

或y=-

2

2

x+

6

2

或y=-

2

2

x-

6

2

．…（14分）

点评：本题考查曲线离心率的求法，考查三角形面积最大值的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．